Apresentaremos resultados de vários autores relacionando Geometria Fractal e bifurcações dinâmicas, e veremos como esses resultados se relacionam com um tema bastante distinto: o estudo de aproximações diofantinas em Teoria dos Números. Em particular, apresentaremos os espectros clássicos de Markov e Lagrange, que são conjuntos de números reais relacionados a aproximações diofantinas. Apresentaremos resultados clássicos e recentes sobre esses conjuntos envolvendo sua caracterização dinâmica e aspectos de geometria fractal. Discutiremos generalizações naturais desses espectros no contexto de sistemas dinâmicos e de geometria diferencial, e resultados recentes relacionados a essas generalizações, obtidos em colaboração com Romaña, Cerqueira e Matheus.

Nesta palestra, discutiremos avanços recentes na pesquisa sobre o comportamento assintótico de passeios aleatórios unidimensionais cujo núcleo de transição depende localmente de um ambiente aleatório que, por sua vez, também evolui no tempo. Faremos uma discussão dos resultados perturbativos obtidos na literatura para caso em que o ambiente é dado por sistemas de partículas conservativos como o processo de exclusão. Depois discutiremos como obter um método geral para demonstrar uma lei dos grandes números sob hipóteses simples para taxa de mistura do ambiente que não exige uniformidade na condição inicial ou limites perturbativos. Como exemplo da aplicabilidade dos nossos métodos, mostraremos que ele inclui ambientes como o processo de contato, o East model e o modelo de Ising estocástico. Finalmente discutiremos, de maneira informal, ideias recentes (e ainda em construção) de como estender os nossos métodos para incluir também ambientes conservativos. Essa palestra é baseada em trabalhos em conjunto com Oriane Blondel (Lyon) e Augusto Teixeira (IMPA) e Daniel Kious (Shanghai).

Interfaces de crescimento aleatório surgem em diversos ramos da ciência [4], tais como biologia, física e engenharia. Em muitos casos, apesar das irregularidades inerentes aos modelos aleatórios, temos uma forma macroscópica bem definida para a interface de crescimento, que depende de aspectos microscópicos do modelo. Por outro lado, as flutuações da interface de crescimento em torno da forma macroscópica devem ser descritas por um comportamento universal. Uma analogia válida é com a Lei dos Grandes Números para a média amostral, cujo valor limite é dado pelo valor médio da variável, mas que, pelo Teorema Central do Limite, quando padronizada exibe sempre a mesma distribuição limite (classe de universalidade Gaussiana). Muitos modelos para interfaces de crescimento também possuem flutuações Gaussianas. Porém, em 1986, Kardar,Parisi e Zhang [1], propuseram uma nova classe de universalidade, desde então chamada classe de universalidade KPZ, e uma equação diferencial parcial estocástica singular, chamada de equação KPZ, que explicaria os mecanismos fundamentais dos modelos na classe KPZ. Neste seminário iremos falar um pouco sobre a classe de universalidade KPZ e apresentar alguns resultados recentes [2,3].

[1] M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang. Dynamic scaling of growing interfaces. Phys. Rev. Lett. 56 (1986)
[2] K. Matetstki, J. Quastel, D. Remenik. The KPZ fixed point. available from ArXiv 1701.00018 (2017)
[3] L .P. R. Pimentel. Ergodicity of the KPZ fixed point. Available from ArXiv 1708.06006 (2017)
[4] K. A. Takeuchi, M. Sano, T. Sasamoto, H. Spohn. Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance. Sci. Rep. (Nature) 1 (2011)

We give a simple proof of Tutte’s matrix-tree theorem, a well-known result providing a closed-form expression for the number of rooted spanning trees in a directed graph. Our proof stems from placing a random walk on a directed graph and then applying the Markov chain tree theorem to count trees. The connection between the two theorems is not new, but it appears that only one direction of the formal equivalence between them is readily available in the literature. The proof we now provide establishes the other direction. This is joint work with Daniel Figueiredo (COPPE) and Valmir Barbosa (COPPE).

The contact process is an interacting particle system introduced by Harris in 1974 and it can model a range of phenomena including the spread of a disease or population. Despite being first introduced on the integer lattice, it was soon generalized to other graphs, making it a rich domain of study in the area of particle systems. We discuss the development of the general knowledge about the process, including different results for various types of graphs and the introduction of modified versions of the original process. We also address a number of unsolved questions on the topic, some of which we think are solvable on a short-time period and some of which are a challenge to the experts in the area.

Um sistema de movimentos Brownianos coalescentes começando em cada ponto do plano espaço-tempo é chamado de Teia Browniana, e foi introduzida por Fontes, Isopi, Newman e Ravishankar (2004). No mesmo artigo foi provada a convergência fraca em escala difusiva do sistema de passeios aleatórios simples simétricos começando em cada ponto de Z^2 para a Teia Browniana. Depois Newman, Ravishankar e Sun (2005) estabeleceram um princípio de invariância relacionado à Teia Browniana, eles provaram convergência do sistema de passeios aleatórios coalescentes para a Teia Browniana sob a condição de momento finito de ordem cinco na função de probabilidades de transição. Neste último caso, trajetórias dos passeios aleatórios podem se cruzar antes da coalescência, o que não pode ocorrer no caso de passeios aleatórios simples. Neste seminário iremos apresentar uma construção de uma versão da Teia Browniana composta de processos estáveis coalescentes, chamada Teia Estável, e um princípio de invariância relacionado a convergência de sistemas de passeios aleatórios no domínio de atração da lei estável. Este é um trabalho em coautoria com Thomas Mountford (EPFL) e Krishnamurthi Ravishankar (NYU-Shangai).

After associating a family of random variables to p(n), the number of partitions of a natural number n, it is possible to deduce a formula for p(n) in terms of the characteristic functions of the random variables. The Central Limit Theorem suggests the right normalization to obtain the asymptotic behaviour of p(n) as n goes to infinity. We obtain indeed an asymptotic expansion for p(n), as a result of an expansion of the characteristic functions in terms of the cumulants and precise approximations of those.

We deal with random variables and their distributions, discrete or continuous, assuming their all positive-integer order moments are finite. It is well-known that such a distribution is either uniquely determined by its moments (M-determinate), or it is non-unique (M-indeterminate). We focus on recent developments and give checkable conditions allowing to decide whether or not a distribution is M-determinate or M-indeterminate. We analyze nonlinear Box-Cox transformations of random data and their M-determinacy. New results will be reported to cover distributions of random variables, vectors and the solutions of SDEs. The M-determinacy is important for both theory and applications in other areas, including Financial Mathematics and Actuarial Sciences. I started working on this topic during my 1-year visit at the Institute of Mathematics of UFRJ, 20 years ago. Two preprints in the IM Series appeared in 1998, followed by several papers of mine and/or involving other colleagues to work on new and challenging problems. I would like my talk to be considered as an expression of thanks and good wishes to all colleagues from the IM.

We propose a model to hedge options for a large investor in a market with jumps. The dynamics of the stock prices and the wealth process is governed by a fully coupled forward-backward SDE driven by orthonormalized Teugels martingales. Our model not only involves FBSDEs with coefficients depending on the price, portfolio, and wealth processes but, unlike known FBSDE market models, it accounts for asynchronous jumps in stock prices. Importantly, it allows to find a hedging strategy which is optimal in the sense of Föllmer and Schweizer.

Nessa palestra, mostraremos como a noção de estacionariedade e o clássico teorema ergódico de Birkhoff podem ser usados para cobrir objetos cuja natureza é não probabilistica como, por exemplo, funções periódicas ou quase-periódicas. No entanto, Eberlein percebeu que o teorema ergódico de Birkhoff é ineficaz para ser aplicado a vários objetos que estão alem do contexto quase-periódico. Assim, propôs um novo teorema ergódico capaz não só de cobrir tais objetos como também obter os resultados padrão do seu análogo clássico como um simples corolário. Falaremos um pouco também sobre o teorema ergódico de Eberlein.

Neural Fields Equations have been widely studied in the literature since the pioneer works of Wilson, Cowan and Amari in the 1970s. They constitute an important example of spatially structured neuronal networks with nonlocal interactions. However, much less is known about multi-scale analysis of neural networks that provides a rigorous derivation of neural field equations. In this talk, we shall briefly discuss how scalar Neural Field Equations can naturally emerge as mean field limits of spatially extended systems of interacting Hawkes processes. This is a joint work with J. Chavalier, A. Duarte and E. Löcherbach.

Mostramos que o conjunto de medidas Bernoulli é denso no conjunto de medidas invariantes de uma classe homoclínica isolada topologicamente mixing de um difeomorfismo $Cˆ1$-genérico. Se o difeomorfismo pertence a um aberto denso transitivo e longe de tangências, mostramos que a classe é de fato a variedade toda. Em conjunto com B. Santiago (UFF) e T. Catalan (UFU).

Nessa palestra vou falar sobre uma propriedade interessante das cadeias de Markov que surgem através da discretizaçãode Ulam de um sistema dinâmico expansível T sobre o intervalo [0,1]. A discretização de Ulam é uma cadeia de Markov construída escolhendo uma partição uniforme do intervalo [0,1] em m intervalos, denotados por {I_i}, e olhando para as probabilidades condicionais m(T^-1 I_i cap I_j)/ m(I_j). Nessa palestra vou apresentar resultados sobre refinamentos da discretização de Ulam, i.e., como o conhecimento de algumas propriedades da discretização de Ulam sobre uma partição em m elementos pode ser utilizado para estimar as propriedades da discretização de Ulam sobre uma partição mais fina.

Motivados por questões provenientes de percolação de longo alcance, investigamos um análogo não-markoviano do processo de contato de Harris em Z^d: em cada x em Z^d há um indivíduo que pode estar são ou infectado. A infecção se propaga como no modelo usual. Entretanto os possíveis tempos em que um indivíduo infectado fica são (podendo ser reinfectado) são dados por processos de renovação independentes. Investigamos quando o parâmetro crítico é zero ou positivo. Este seminário se baseia em dois trabalhos em colaboração com L. R. Fontes, D. Marchetti, T. Mountford (parâmetro crítico zero) e o segundo (parâmetro crítico positivo) em colaboração com L.R. Fontes e T. Mountford.